p11_7_14

11章7頁-14頁，

P11-7的極點安置設計Pole placement design

已知一線性非時變系統

X(t)=AX(t)+Bu(t) (11-2)

y(t)=CX(t)

假設其狀態回授控制器為

u(t)=r(t)-KX(t) (11-3)

將(11-3)代入(11-2)得

X(t)=AX(t)+Bu(t)

=AX(t)+Br(t)-KX(t)

=(A-BK)X(t)+Br(t) ( 11-4)

而(11-2)~(11-4)所畫的系統方塊圖如圖11-3

例四:題目

% p11_8頁的程式

% 極點安置設計

damping=0.707;

wn=3;

[num1,den1]=ord2(wn,damping)%由damping 與wn所組成的標準二階微分方程(分子/分母)

% 受控系統轉換成狀態空間模表示式

num=1;%題目給的轉移函數分子

den=conv([1 1],conv([1 2],[1 3]));%題目給的轉移函數分母，兩兩相乘的多項式

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)%將題目所給的三階系統轉為狀態方程式A,B,C,D

length_of_A=length(A)%

Cm=ctrb(A,B);

rank_of_Cm=rank(Cm)%先判別可不可以控制

if rank_of_Cm==length_of_A%若是相等就可以控制

 % 設定所需的極點

 dominant_poles=roots(den1);%主極點是
由damping 與wn所組成的標準二階微分方程(分子/分母)
desired_poles=[dominant_poles' 10*real(dominant_poles(1))]%因為是三階，所以除了主極點外，再加一個10倍遠的極點
% 計算增益K

 K=place(A,B,desired_poles)

 % 計算閉迴路系統狀態空間模表示式

 Ac=A-B*K%課本11-4式

 Bc=B

 Cc=C

 Dc=D

else

 disp('cannot use the method of pole placement') 

end

例五將7-32頁的4階倒單擺系統，作一狀態回控控制

找出阻尼比與自然無阻尼後，可以得到標準二階系統轉移函數

% P11_12.m

% 倒單擺系統之極點安置設計

damping=0.6;

wn=3.33;

[num1,den1]=ord2(wn,damping)

% 受控系統以狀態空間表示 11-11頁

A=[0 1 0 0;0 0 -0.98 0;0 0 0 1;0 0 17.97 0];

B=[0;0.5;0;-0.83];

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0;0];

length_of_A=length(A)

Cm=ctrb(A,B);

rank_of_Cm=rank(Cm)

if rank_of_Cm==length_of_A

  % 設定所需的極點

dominant_poles=roots(den1);
desired_poles=[dominant_poles' 9*real(dominant_poles(1)) 10*real(dominant_poles(1))]%多兩點無關緊要的極點
% 計算增益K

  K=place(A,B,desired_poles)

  % 計算閉迴路系統狀態空間模表示式

  Ac=A-B*K

  Bc=B

  Cc=C

  Dc=D

else

  disp('cannot use the method of pole placement') 

end

同學設計出11-14頁的Simulink程式來驗証看看是否正確！

1. Simulink內的Demux是全黑的，只要快按兩下到裏面將「Display option選為none, 
2. 按一下Demux的滑鼠右鍵/Format/show block name, 可出現下標文字Demux

所以輸出有6個，前兩個輸出y1=x1; y2=x3;
後面4個輸出:y3=x1; y4=x2; y5=x3; y6=x4;